Encontre os ângulos agudos entre as curvas nos seus pontos de interseção. (O ângulo entre as duas curvas é o ângulo entre as suas retas tangentes no ponto de intersecção.)

y = sen(x), y = cos(x), 0 ≤ x ≤ (pi/2)

Passo 1

Opaaa...

A primeira coisa que precisamos fazer é achar esse bendito ponto de intersecção, né?

Pra isso a gente iguala as funções:

sen ⁡ x = cos ⁡ x

E onde que seno é igual ao cosseno, lembra? Isso mesmo, em 45 graus, que é π 4 ...

x = π 4

E pra achar o y :

y = sin ⁡ π 4

y = 2 2

Então o ponto de intersecção é:

x , y = π 4 , 2 2

Passo 2

Pra achar a tangente, a gente deriva a funções:

Pra primeira função:

m 1 = d sen ⁡ x d x = cos ⁡ x

Em x = π 4 :

m 1 = 2 2

Então a reta tangente da primeira função tem inclinação 2 2 . E conseguimos escrever da forma:

y = 2 2 t + a

Então vamos ter o vetor diretor:

v 1 = 1 , 2 2

Pra segunda função:

m 2 = d cos ⁡ x d x = - sen ⁡ x

Em x = π 4 :

m 2 =   - 2 2

Então a reta tangente da primeira função tem inclinação - 2 2 . E conseguimos escrever da forma:

y = - 2 2 t + a

Então vamos ter o vetor diretor:

v 1 = 1 , - 2 2

Passo 3

Booom... como já temos o vetor diretor de cada reta, agora é só curtir pro abraço jogando a fórmula lá do cosseno pra achar o ângulo:

cos ⁡ θ = v 1 ⋅ v 2 v 1 v 2

cos ⁡ θ = 1 ⋅ 1 + 2 2 - 2 2 1 2 + 2 2 2 1 2 + - 2 2 2

cos ⁡ θ = 1 3

Aplicando a função inversa:

θ = acos ⁡ 1 3

θ = 70,53 °

Resposta

θ = 70,5 3 °

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