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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 25

Na figura ao lado, de um paralelepípedo, O A → = a → ,   O B → = b → ,   O C →   = c → , M é o ponto médio de B D → , o ângulo formado por a →   e b → mede 60 ° , c → é ortogonal a a →   e   a   b → ,   a → = 2 ,   b → = 1 ,   e   c → = 4 .

  1. Escreva A B →   e   A M → como combinação linear de a → ,   b →   e   c → e calcule A B → ⋅ A M → .
  2. Calcule o ângulo que A B → faz com A M → .

Passo 1

Fala galera, beleza??

Resolvendo o item a), pela figura, temos:

A B → = b → - a →

A M → = A B → + 1 2 c → = b → - a → + 1 2 c →

Passo 2

Agora, temos que calcular o produto escalar entre eles:

A B → ⋅ A M → = b → - a → b → - a → - 1 2 c →

= b → ⋅ b → - b → ⋅ a → + b → ⋅ 1 2 c → - a → ⋅ b → + a → ⋅ a → - a → ⋅ 1 2 ⋅ c →

= 1 2 - 1 ⋅ 2 ⋅ 1 2 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 2 + 2 2 = 3

Vamos pro item b)!

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o módulo dos vetores:

A B → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos ⁡ 60 °

A B → 2 = 2 2 + 1 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 2  

A B → = 3

A M → 2 = A B → 2 + 1 2 c → 2 = 3 + 1 4 ⋅ 4 2 = 7

A M → = 7  

Assim, o ângulo entre eles é:

c o s α = 3 3 ⋅ 7 = 3 21

Fechou! Vamos pra próxima? :D

Resposta

c o s α = 3 21

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