Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 79a
A alta velocidade do trem-bala acelera e desacelera a uma taxa de . Sua velocidade máxima de cruzeiro é .
- Qual será a distância máxima percorrida pelo trem se ele acelerar a partir do repouso até atingir a velocidade do cruzeiro e permanecer nessa velocidade por minutos?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos um trem que acelera e desacelera a uma taxa de e sua velocidade máxima é . A partir daí queremos saber qual é a distância máxima percorrida por esse trem se ele parte do repouso, atinge sua velocidade máxima e pormanece por .
Tem ideia de como fazemos isso?
Para resolver esse problema vamos obter a função da posição para os dois momentos, o acelerado e não acelerado, para calcular a posição final do trem-bala. Primeiramente temos uma aceleração constante de :
como é uma função, se aplicarmos a antiderivada nela vamos obter a função velocidade se aplicarmos a antiderivada novamente vamos obter a função posição.
A partir daí podemos obter a função posição para o movimento acelerado e depois a função posição para o movimento uniforme.
Porém, temos que lembrar que a aceleração está dada em e a velocidade máxima em , então vamos ter que converter alguns valores no caminho!
Veja só!
Passo 2
Aplicando a antiderivada de uma contante, chegamos ao valor da velocidade nesse primeiro momento:
Como a velocidade inicial é nula:
A velocidade final da aceleração é igual a , então podemos descobrir o tempo de aceleração.
Mas antes precisamos converter a velocidade para . Fazemos isso multiplicando por :
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Achamos a posição a partir da antiderivada da velocidade:
Pela regra da antiderivada polinomial, temos
Como :
Após a aceleração, temos então um deslocamento dado por:
Show?
Passo 4
Agora calculamos o deslocamento no trecho não acelerado.
Temos uma velocidade de durante minutos. Então:
Somando e , encontramos a distância total:
E fim! O que achou? Responde Aí!