Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 63
Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.
Passo 1
Nessa questão nós temos a aceleração que é:
E nos é dado que e que .
Nessa questão, nós vamos usar que a aceleração é a segunda derivada da posição:
Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada.
Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar , a velocidade.
Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição .
A antiderivada é uma função que quando derivamos resulta em :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de é:
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Aqui vai nos ajudar saber as regras de antiderivação das funções seno e cosseno:
E também vale lembrar que a constante multiplicada a função não altera em nada sua derivada ou antiderivada:
Passo 2
Primeiramente encontramos achando a antiderivada da aceleração.
Sendo
Teremos para o primeiro termo que:
E para o segundo termo:
Portanto, somando tudo e juntando com uma constante teremos:
Passo 3
Agora achamos a antiderivada da velocidade, que é a posição:
Sendo
Temos para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
E para a constante:
Dessa forma juntando tudo e somando a uma nova constante, teremos:
Agora devemos aplicar as condições de contorno para achar as constantes e .
Primeiro usando que
Agora usando que
Então temos finalmente a função posição: