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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 62

Uma partícula move-se de acordo com os dados que seguem. Encontre a posição da partícula.

a t = cos ⁡ t + sen ⁡ t ,           s 0 = 0 ,       v 0 = 5

Passo 1

A aceleração é a segunda derivada da posição:

a t = s ' ' ( t )

Para chegar à posição a partir da aceleração, então fazemos o caminho contrário: aplicamos duas vezes a antiderivada. Primeiro aplicamos a antiderivada para encontrar s ' ( t ) , a velocidade. Depois fazemos o processo novamente, para chegar na posição s ( t ) .

Passo 2

Primeiramente encontramos v t = s ' ( t ) achando a antiderivada da aceleração. A antiderivada do cosseno é seno e a antiderivada do seno é menos cosseno:

a t = s ' ' t = cos ⁡ t + sen ⁡ t

⇒ v t = s ' t = sen ⁡ t - cos ⁡ t + C

Com a velocidade inicial encontramos C :

v 0 = 5 ⇒ sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 + C = 5

⇒ - 1 + C = 5 ⇒ C = 6

Então:

v t = s ' t = sen ⁡ t - cos ⁡ t + 6

Passo 3

Agora achamos a antiderivada da velocidade, que é a posição:

v t = s ' t = sen ⁡ t - cos ⁡ t + 6

⇒ s t = - cos ⁡ t - sen ⁡ t + 6 t + D

Com a posição inicial achamos D :

s 0 = 0 ⇒ - cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 + D = 0

⇒ - 1 + D = 0 ⇒ D = 1

Então temos finalmente a função posição:

s t = - cos ⁡ t - sen ⁡ t + 6 t + 1

Resposta

s t = - cos ⁡ t - sen ⁡ t + 6 t + 1

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