Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 26
- Encontre uma aproximação para a integral usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e .
(b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte (a).
(c) Use o Teorema 4 para calcular .
(d) Interprete a integral da parte (c) como uma diferença de áreas e ilustre com diagramas como o da Figura 4.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos entrega várias letrinhas em que cada uma pede uma coisinha diferente sobre a seguinte integral:
Para isso, em cada passo abaixo a gente vai explicando o conceito e resolvendo a questão, combinado??
Bora lá!! 😉
Passo 2
Na letra a) queremos encontrar uma aproximação para a integral usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e .
Para isso, devemos saber que a soma de Riemann é um método matemático usado para aproximar a integral de uma função definida em um intervalo específico.
A soma de Riemann para aproximar uma integral de uma função definida no intervalo é dada da seguinte forma:
Em que e .
Onde é o número de subintervalos e é a largura do subintervalo.
Agora vamos aplicar!!
Passo 3
Temos um delta
E , logo:
Passo 4
Na letra b) queremos fazer um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação do que acabamos de calcular.
Lembrando que a Figura 3 é essa:
Assim, plotando a figura e aplicando os subintervalos, temos:
Passo 5
Na letra c) queremos usar o Teorema 4 para calcular a nossa integral.
Mas o que diz o Teorema 4???
Bom... O teorema 4 diz que se for integrável em , então
Onde e
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 6
Aplicando o Teorema 4, temos:
Passo 7
Por fim, na letra d) queremos interpretar a integral da letra c) como uma diferença de áreas e ilustre com diagramas como o da Figura 4.
Lembrando que a Figura 4 é essa:
Bom... vamos lá.
Nesse sentido, temos que:
Onde é a área positiva, e , a negativa.
Assim, temos:
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉