Enunciado

  1. Encontre uma aproximação para a integral ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x   usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 .

(b) Faça um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação da parte (a).

(c) Use o Teorema 4 para calcular ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x .

(d) Interprete a integral da parte (c) como uma diferença de áreas e ilustre com diagramas como o da Figura 4.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos entrega várias letrinhas em que cada uma pede uma coisinha diferente sobre a seguinte integral:

∫ 0 4 x 2 - 3 x d x  

Para isso, em cada passo abaixo a gente vai explicando o conceito e resolvendo a questão, combinado??

Bora lá!! 😉

Passo 2

Na letra a) queremos encontrar uma aproximação para a integral usando uma soma de Riemann com as extremidades direitas e n = 8 .

Para isso, devemos saber que a soma de Riemann é um método matemático usado para aproximar a integral de uma função definida em um intervalo específico.

A soma de Riemann para aproximar uma integral de uma função f x definida no intervalo a , b é dada da seguinte forma:

∫ a b f x d x = ∑ i = 1 n f x i ∆ x i

Em que Δ x = b - a n e x i = a + i ∆ x .

Onde n é o número de subintervalos e Δ x é a largura do subintervalo.

Agora vamos aplicar!!

Passo 3

Temos um delta

∆ x = 4 - 0 8 = 0.5

E x i * = 0.5 i , logo:

= ∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = ∑ i = 1 8 f x i * ∆ x

= 0.5 0.5 2 - 3 0.5 + 1 2 - 3 1 + … + 3.5 2 + 3 3.5 + 4 2 + 3 4

= 1 2 - 5 4 - 2 - 9 4 - 2 - 5 4 + 0 + 7 4 + 4

= - 1.5

Passo 4

Na letra b) queremos fazer um diagrama como a Figura 3 para ilustrar a aproximação do que acabamos de calcular.

Lembrando que a Figura 3 é essa:

Assim, plotando a figura e aplicando os 8 subintervalos, temos:

Passo 5

Na letra c) queremos usar o Teorema 4 para calcular a nossa integral.

Mas o que diz o Teorema 4???

Bom... O teorema 4 diz que se f for integrável em [ a , b ] , então

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde ∆ x = b - a n   e x i = a + i ∆ x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 6

Aplicando o Teorema 4, temos:

∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 i n 2 - 3 4 i n 4 n

= lim n → ∞ ⁡ 4 n [ 16 n 2 ∑ i = 1 n i 2 - 12 n ∑ i = 1 n i ]

= lim n → ∞ ⁡ 64 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 - 48 n 2 n n + 1 2  

= lim n → ∞ ⁡ 32 3 1 + 1 n 2 + 1 n - 24 1 + 1 n

= 32 3 2 - 24

= - 8 3

Passo 7

Por fim, na letra d) queremos interpretar a integral da letra c) como uma diferença de áreas e ilustre com diagramas como o da Figura 4.

Lembrando que a Figura 4 é essa:

Bom... vamos lá.

Nesse sentido, temos que:

∫ 0 4 x 2 - 3 x d x = A 1 - A 2

Onde A 1 é a área positiva, e A 2 , a negativa.

Assim, temos:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. - 1.5
  2. - 8 3

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