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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 14

Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x :

x = 1 + 2 y 2 ,   1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em geral, a área da superfície obtida pela rotação de uma curva em x = f y ,     a ≤ y ≤ b , em torno do eixo x , é dada por:

S = ∫ a b 2 π y 1 + d x d y 2

Passo 2

Vamos derivar x = 1 + 2 y 2 , para obter a relação d x d y :

d x d y = 2 2 y

d x d y = 4 y

Temos então que:

1 + d x d y 2 = 1 + 4 y 2

1 + d x d y 2 = 16 y 2 + 1

Vamos chamar u = 16 y 2 + 1 , logo d u = 32 y d y

y = 1 → u = 17

y = 2 → u = 65

Com 2 ≤ u ≤ 65 .

Passo 3

Agora vamos aplicar à fórmula da área da superfície S :

S = ∫ 17 65 2 π y u d u 32

Resolvendo, temos que:

S = 2 π 32 u 1 2 + 1 1 2 + 1 17 65

S = 2 π 32 u 3 / 2 3 2 17 65

Aplicando os limites, temos que:

S = π 24 65 3 2 - 17 3 2

S = π 24 65 65 - 17 17

Portanto, a área requerida da superfície obtida pela rotação da curva em x = 1 + 2 y 2 torno do eixo x é de π 24 65 65 - 17 17 unidades quadradas.

Resposta

S = π 24 65 65 - 17 17

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