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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 13

Encontre a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x :

x = 1 3 y 2 + 2 3 / 2 ,   1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em geral, a área da superfície obtida pela rotação de uma curva em x = f y ,     a ≤ y ≤ b , em torno do eixo x , é dada por:

S = ∫ a b 2 π y 1 + d x d y 2

Passo 2

Vamos derivar x = 1 3 y 2 + 2 3 / 2 , para obter a relação d x d y :

d x d y = 1 3 3 2 y 2 + 2 1 2 2 y

d x d y = y y 2 + 2 1 / 2

Temos então que:

1 + d x d y 2 = 1 + y 2 y 2 + 2

= y 4 + 2 y 2 + 1

1 + d x d y 2 = y 2 + 1 2

Com 1 ≤ y ≤ 2 .

Passo 3

Agora vamos aplicar à fórmula da área da superfície S :

S = ∫ 1 2 2 π y y 2 + 1 2 d y

S = ∫ 1 2 2 π y y 2 + 1 d y

S = ∫ 1 2 2 π y 3 + y d y

Resolvendo, temos que:

S = 2 π y 4 4 + y 2 2 1 2

S = 2 π 2 4 4 + 2 2 2 - 1 4 4 + 1 2 2

S = 21 π 2

Portanto, a área requerida da superfície obtida pela rotação da curva em x = 1 3 y 2 + 2 3 / 2 tornno do eixo x é de 21 π 2 unidades quadradas.

Resposta

S = 21 π 2

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