Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.2 - Ex. 36
- Mostre que a área das superfícies de uma zona de uma esfera que está entre dois planos paralelos é , onde é o raio da esfera e , a distância entre os planos. (Observe que depende apenas da distância entre os planos e não de sua localização, desde que ambos os planos interceptem a esfera.)
- Mostra que a área de superfície de uma zona de um cilindro com raio e altura é a mesma que a área de superfície da zona de uma esfera no item (a).
Passo 1
A equação da circunferência centrada na origem do plano é dada por .
Vamos isolar o nessa equação e rotacionar ao redor de eixo com para gerar uma esfera.
A área da superfície pode ser escrita da seguinte maneira:
onde . Vamos descobrir quanto vale a primeira derivada da função:
Calculando a integral temos:
Passo 2
Para a letra (b), vamos rotacionar com ao redor do eixo para gerar a zona de um cilindro. Assim,
A área da superfície pode ser escrita da seguinte maneira:
onde . Vamos descobrir quanto vale a primeira derivada da função:
Calculando a integral, temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.Encontre a área da superfície gerada quando as equações x = cos 2 t , y = s e n 2 t ( 0 ≤ t ≤ π / 2 ) gira em torno do eixo y .
Seja S a área da superfície gerada quando a curva x=x ( t ) , y=y ( t )( a≤t≤b ) gira em torno do eixo x . Explique como S pode ser aproximada por S ≈ ∑ k = 1 n π y t k - 1 + y t k × x t k - x t k - 1
Seja S a área da superfície gerada quando a curva x=x ( t ) , y=y ( t )( a≤t≤b ) gira em torno do eixo y . Explique como S pode ser aproximada por S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x t k - x t k - 1
Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x . y = 7 x , 0 ≤ x ≤ 1
Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x . y = x , 1 ≤ x ≤ 4