Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 56

Encontre a área da região entre y = x s e n ( x ) e y = x para 0 <= x <= pi // 2 .

Passo 1

Nós queremos encontrar uma área que é delimitada pelas curvas que chamaremos de y_1 e y_2 . Dessa forma, nossa área será:

Á r e a = int_0^(pi // 2) (y_2 - y_1) d x

Então, substituindo os valores, temos que:

Á r e a = int_0^(pi // 2) (x - x s e n ( x )) d x

Lembrando que podemos separar em duas integrais:

Á r e a = int_0^(pi // 2) (x) d x - int_0^(pi // 2) (x s e n ( x )) d x

Vamos resolver a integral int_0^(pi // 2) (x s e n ( x )) d x separadamente por integração por partes, onde:

int u d v = u v - int v d u

Se:

u = x

d u = d x

d v = s e n (x) d x

v = - c o s ( x )

Aplicando na integral, temos:

int x s e n (x) = - x c o s ( x ) - int - cos (x) d x

int x s e n (x) = - x c o s (x) + s e n (x)

Retornando a nossa integral:

Á r e a = int_0^(pi // 2) (x) d x - int_0^(pi // 2) (x s e n ( x )) d x

Á r e a = [(x^2)/(2) - ( - x c o s (x) + s e n (x) )]_0^(pi // 2)

Á r e a = (pi^2)/(8) - 1

Resposta

Á r e a = (pi^2)/(8) - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral indefinida:int ln x d x
Calcule a integral indefinida:int x 3^x d x
Calcule a integral indefinida:int x cos 2 x d x
Calcule a integral indefinida:int sen^(- 1) w d w
Calcule a integral indefinida:int x e^(3 x) d x