Encontre a área da região entre y = x \* sen(x) e y = x para 0 <= x <= pi/2

Passo 1

Nós queremos encontrar uma área que é delimitada pelas curvas que chamaremos de y 1 e y 2 . Dessa forma, nossa área será:

Á r e a = ∫ 0 π / 2 y 2 - y 1 d x

Então, substituindo os valores, temos que:

Á r e a = ∫ 0 π / 2 x - x s e n ( x ) d x

Lembrando que podemos separar em duas integrais:

Á r e a = ∫ 0 π / 2 x d x - ∫ 0 π / 2 x s e n ( x ) d x

Vamos resolver a integral ∫ 0 π / 2 x s e n ( x ) d x separadamente por integração por partes, onde:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Se:

u = x

d u = d x

d v = s e n x d x

v = - c o s ⁡ ( x )

Aplicando na integral, temos:

∫ x s e n x = - x c o s ( x ) - ∫ - cos ⁡ x d x

∫ x s e n x = - x c o s x + s e n x

Retornando a nossa integral:

Á r e a = ∫ 0 π / 2 x d x - ∫ 0 π / 2 x s e n ( x ) d x

Á r e a = x 2 2 - ( - x c o s x + s e n x ) 0 π / 2

Á r e a = π 2 8 - 1

Resposta

Á r e a = π 2 8 - 1

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