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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 58

Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre y = c o s ( x ) e y = 0 , com 0 ≤ x ≤ π 2 , gira em torno do eixo y .

Passo 1

Queremos calcular o volume de um sólido gerado quando a região entre y = c o s ( x ) e y = 0 gira em torno do eixo y . Usando o método da casca cilíndrica, podemos dizer que:

V = ∫ 0 π / 2 2 π x c o s x d x

Retirando a constante de dentro da integral, temos que:

V = 2 π ∫ 0 π / 2 x c o s x d x

Resolveremos a integral por substituição por partes, onde:

u = x

d u = d x

d v = c o s x d x

v = s e n ( x )

Assim:

V = 2 π ∫ 0 π / 2 x s e n x d x = x s e n x - ∫ s e n ( x ) d x 0 π / 2

V = 2 π ∫ 0 π / 2 x s e n x d x = x s e n x + c o s ⁡ ( x ) 0 π / 2

V = 2 π π 2 s e n π 2 + c o s ⁡ ( π 2 ) - 2 π 0 . s e n 0 + c o s ⁡ ( 0 )

V = 2 π π 2 . 1 - 0 - [ 0 + 1 ]

V = π ( π - 2 )

Resposta

V = π ( π - 2 )

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