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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 68

  1. Na integral ∫ x cos ⁡ x   d x ,   sejam:

    2. u = x                       d v = cos ⁡ x   d x

    d u = d x                           v = sen ⁡ x + C 1

    Mostre que a constante C 1 é cancelada, de modo que obtemos a mesma solução se omitirmos C 1 .

  2. Mostre que, em geral, vale

u v - ∫ v d u = u v + C 1 - ∫ ( v + C 1 ) d u

De modo que é justificável a omissão da constante de integração ao calcular v na integração por partes.

Passo 1

O objetivo desse exercício é avaliar a integral dada, utilizando integração por partes.

  1. Os dados fornecidos pelo exercício foram:

    2. u = x                       d v = cos ⁡ x   d x

    d u = d x                           v = sen ⁡ x + C 1

    Usando integração por partes:

    I = u v - ∫ v d u

    Aplicando na fórmula:

    I = x sen ⁡ x + C 1 - ∫ sen ⁡ x + C 1 d x  

    Resolvendo, temos:

    I = x sen ⁡ x + x C 1 - [ - cos ⁡ x + x C 1 + C 2 ]

    Reorganizando sinais:

    I = x sen ⁡ x + x C 1 + cos ⁡ x - x C 1 + C 2

    Cortando os termos e chamando C 2 = C

    I = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

    Passo 2

  2. Em geral, podemos esconder o nosso amigo C , já que ele é uma constante de integração. Vamos provar isso, suponha que estamos usando v + C 1 em vez de v , então a integração por partes será:

u v + C 1 - ∫ v + C 1 d u = u v + u C 1 - ∫ v d u - C 1 ∫ d u

Resolvendo, temos:

u v + C 1 - ∫ v + C 1 d u = u v + u C 1 - ∫ v d u - u C 1

u v + C 1 - ∫ v + C 1 d u = u v - ∫ v d u

Isso justifica que a omissão da constante de integraçãoquando calculamos v na integração por partes.

Resposta

  1. I = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C
  2. u v + C 1 - ∫ v + C 1 d u = u v - ∫ v d u
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