Na integral ∫ x cos ⁡ xd x , sejam: u = xd v = cos ⁡ xd x d u = d xv = sen ⁡ x + C 1 Mostre que a constante C 1 é cancelada, de modo que obtemos a mesma solução se omitirmos C 1 . Mostre que, em geral, vale u v - ∫ v d u = u v + C 1 - ∫ ( v + C 1 ) d u De modo que é justificável a omissão da constante de integração ao calcular v na integração por partes.

I = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C u v + C 1 - ∫ v + C 1 d u = u v - ∫ v d u

Enunciado

O objetivo desse exercício é avaliar a integral dada, utilizando integração por partes.

Usando integração por partes:

Aplicando na fórmula:

Resolvendo, temos:

Reorganizando sinais:

Cortando os termos e chamando

Em geral, podemos esconder o nosso amigo , já que ele é uma constante de integração. Vamos provar isso, suponha que estamos usando em vez de , então a integração por partes será:

Resolvendo, temos:

Isso justifica que a omissão da constante de integraçãoquando calculamos na integração por partes.