Calcule a integral indefinida:

∫ ln ⁡ x d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

∫ ln ⁡ x ⋅ 1 d x = ∫ ln ⁡ x ⋅ x 0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = 1 d x v =   ? u = ln ⁡ x d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = 1 d x v = ∫ 1 d x = x + C u = ln ⁡ x d u = 1 x d x

Devemos lembrar que ln ⁡ x ' = 1 x .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ x ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ x ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 1 x d x ⏟ d u

∫ ln ⁡ x = x ln ⁡ x - ∫ d x = x ln ⁡ x - x + C = x ln ⁡ x - 1 + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

∫ ln ⁡ x = x ln ⁡ x - 1 + C

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