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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 5

Calcule a integral indefinida:

int ln x d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

int ln x * 1 d x = int ln x * x^0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,,?],[u,=,ln x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,int 1 d x =,x,+,C],[u,=,ln x,d,u,=,(1)/(x),d,x]]

Devemos lembrar que (ln x)^' = (1)/(x) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace ln x) underset(d v)(ubrace 1 d x) = underset(u)(ubrace ln x) underset(v)(ubrace (x)) - int underset(v)(ubrace x) underset(d u)(ubrace (1)/(x) d x)

int ln x = x ln x - int d x = x ln x - x + C = x (ln x - 1) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int ln x = x (ln x - 1) + C

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