Calcule a integral ∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   s e n ⍬        

(pois é o valor mais simples de derivar)

d u   =   ( s e n ⍬ ) ’ .   d ⍬        

d u   =   c o s   ⍬   d ⍬                  

      d v   =   e ⍬   d ⍬

              v = ∫ e ⍬   d ⍬

            v   =   e ⍬  

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬     = ( s e n ⍬ ) . e ⍬ -   ∫ e ⍬ .   c o s   ⍬   d ⍬

Para poder resolver ∫ e ⍬ .   c o s   ⍬   d ⍬ utilizamos novamente o método da integração por partes:

w   =   c o s   ⍬    

d w   =   ( c o s   ⍬ ) ’   d ⍬

d w   =   - s e n   ⍬   d ⍬    

d z   =   e ⍬ . d ⍬

z = ∫ e ⍬   d ⍬

z   =   e ⍬

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ e ⍬ .   c o s   ⍬   d ⍬   = c o s   ⍬ . e ⍬ -   ∫ e ⍬   - s e n   ⍬   d ⍬

= c o s   ⍬ . e ⍬ +   ∫ e ⍬   . s e n   ⍬   d ⍬

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬     = s e n ⍬ . e ⍬ -   ∫ e ⍬ .   c o s   ⍬   d ⍬

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬     = ( s e n ⍬ ) . e ⍬ -   c o s   ⍬ . e ⍬ +   ∫ e ⍬   . s e n   ⍬   d ⍬

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e ⍬ -   c o s   ⍬ . e ⍬ -   ∫ e ⍬   . s e n   ⍬   d ⍬

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ + ∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e ⍬ -   c o s   ⍬ . e ⍬

2 . ∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ = e ⍬ ( s e n ⍬ -   c o s   ⍬ )

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ = e ⍬ ( s e n ⍬ -   c o s   ⍬ ) 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ e ⍬ . s e n ⍬   d ⍬ = e ⍬ ( s e n ⍬ -   c o s   ⍬ ) 2 + c

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