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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 21

Calcule a integral int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = s e n ⍬

(pois é o valor mais simples de derivar)

d u = ( s e n ⍬ ) ’ . d ⍬

d u = c o s ⍬ d ⍬

d v = e^⍬ d ⍬

v = int e^⍬ d ⍬

v = e^⍬

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e^⍬ - int e^⍬ . c o s ⍬ d ⍬

Para poder resolver int e^⍬ . c o s ⍬ d ⍬ utilizamos novamente o método da integração por partes:

w = c o s ⍬

d w = ( c o s ⍬ ) ’ d ⍬

d w = - s e n ⍬ d ⍬

d z = e^⍬ . d ⍬

z = int e^⍬ d ⍬

z = e^⍬

int w d z = w . z - int z d w

int e^⍬ . c o s ⍬ d ⍬ = c o s ⍬ . e^⍬ - int e^⍬ - s e n ⍬ d ⍬

= c o s ⍬ . e^⍬ + int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = (s e n ⍬) . e^⍬ - int e^⍬ . c o s ⍬ d ⍬

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e^⍬ - (c o s ⍬ . e^⍬ + int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬)

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e^⍬ - c o s ⍬ . e^⍬ - int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ + int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = ( s e n ⍬ ) . e^⍬ - c o s ⍬ . e^⍬

2 . int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = e^⍬ ( s e n ⍬ - c o s ⍬ )

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = (e^⍬ ( s e n ⍬ - c o s ⍬ ))/(2) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

int e^⍬ . s e n ⍬ d ⍬ = (e^⍬ ( s e n ⍬ - c o s ⍬ ))/(2) + c

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