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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 50

Encontre a área da região entre o eixo x e a curva y = 8 x 2 - 4 com x ≥ 4 .

Passo 1

Vamos visualizar a região, que é acima do eixo x e abaixo da curva y = e - 3 x com x ≥ 4 :

Temos que a área vai ser a integral:

A = ∫ 4 ∞ 8 x 2 - 4 d x

Onde o limite de integração vai de 4 até infinito, e devemos integrar a função da curva.

Passo 2

Temos aqui que f é contínua no intervalo a , b , exceto por uma descontinuidade infinita em b , então a integral imprópria de f no intervalo a , b é definida por:

∫ a b f x d x = lim k → b ⁻ ⁡ ∫ a k f x d x

Vamos agora substituir os limites de integração e a função:

A = ∫ 4 ∞ 8 x 2 - 4 d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 4 k 8 x 2 - 4 d x

Passo 3

Vamos calcular a integral do limite, vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 8 x 2 - 4 d x = 8 ∫ 1 x 2 - 4 d x

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 - a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Aplicando:

8 ∫ 1 x 2 - 4 d x = 8 ⋅ 1 2 ⋅ 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C = 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 4 k 8 x 2 - 4 d x = 2 ln ⁡ x - 2 x + 2 4 k = 2 ln ⁡ k - 2 k + 2 - 2 ln ⁡ 4 - 2 4 + 2 = 2 ln ⁡ k - 2 k + 2 - 2 ln ⁡ 2 6 =

= 2 ln ⁡ k - 2 k + 2 - 2 ln ⁡ 1 3

Passo 5

Agora vamos calcular a integral original:

A = ∫ 4 ∞ 8 x 2 - 4 d x = lim k → + ∞ ⁡ ∫ 4 k 8 x 2 - 4 d x = lim k → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ k - 2 k + 2 - 2 ln ⁡ 1 3 =

= lim k → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ k - 2 k + 2 + lim k → + ∞ ⁡ - 2 ln ⁡ 1 3 = lim k → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ k 1 - 2 k k 1 + 2 k + - 2 ln ⁡ 1 3 =

= lim k → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ k 1 - 2 k k 1 + 2 k - 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 = lim k → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ 1 - 2 k 1 + 2 k - 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 =

= 2 ln ⁡ 1 - 2 0 - ln ⁡ 3 = 2 ⋅ 0 + 2 ln ⁡ 3 = 2 ln ⁡ 3

Pronto, temos que a área da região é de 2 ln ⁡ 3 .

Resposta

A = 2 ln ⁡ 3

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