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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 52

Encontre o volume do sólido que é gerado quando a região entre a curva y = e - x com x ≥ 0 e o eixo x gira em torno do eixo y .

Passo 1

Para esse caso, usamos a expressão que calcula o volume de sólidos infinitos:

V = ∫ 0 + ∞ π f x 2 d x

Primeiro a integração, depois calculamos o limite. Assim, substituindo, temos:

V = ∫ 0 + ∞ π e - x 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ π ∫ 0 + ∞ ( e - 2 x ) d x

Passo 2

Para a integral, aplicamos o método da substituição, em que u = - 2 x e d u = 2 d x

π ∫ 0 + ∞ ( e - 2 x ) d x = ∫ - e u 2 d u = - π 2 e u 0 + ∞

Substituindo o valor de u :

- π 2 e - 2 x 0 + ∞ = 0 - - π 2 = π 2

Calculando o limite:

lim b → + ∞ ⁡ π ∫ 0 + ∞ e - 2 x d x = l i m b → + ∞ π 2 = π 2

Prontinho!!

Resposta

π 2

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Calcule ∫ - 1 2 1 4 - x 2d x
Suponha f não-limitada e contínua nos intervalos [ a , c [ e ] c , b ] . Defina ∫ a b f x d x .
Suponha f contínua em ] a , b [ e não-limitada em ] a , c ] e [ c , b [ . Defina ∫ a b f x d x .
Calculea)∫ 0 2 1 x - 1 3d x
Calculeb)∫ - 1 1 1 | x |d x