Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá o seguinte gráfico:

E pede para acharmos a área da região sombreada!

É importante lembrar que a área entre as curvas é dada pela integral da função que está em cima menos a função que está em baixo. Ou seja:

(5 x - x^2) - (x) = 4 x - x^2

Os limites de integração serão 0 e 4 pois este é intervalo no eixo x que delimita a região!!!

Passo 2

Assim, a área pedida será

A = int_0^4 (4 x - x^2) d x

Integrando:

int_0^4 (4 x - x^2) d x = [2 x^2 - (x^3)/(3)]_0^4

Aplicando os limites de integração:

A = [2 (4^2) - (4^3^3)/(3) - (2 (0)^2 - (0^3)/(3))] = 2 xx 16 - (64)/(3) - 0 = 32 - (64)/(3) = (96 - 64)/(3)

A = (32)/(3)

Prontinho!

Resposta

A = (32)/(3)

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