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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3c

Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares).

c )     ρ = cos ⁡ 2 θ

Passo 1

A fórmula para se calcular a área da região delimitada pela cruva é:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ

Assim, substituímos os valores que temos, sendo os limites de integração o suficiente para formar a figura.

Ela será essa área:

Conseguimos ver que a figura é simétrica em relação ao semi eixo Ox e ao ânuglo de π 2 , por isso podemos calcular 4 vezes a área no intervalo de 0 , π 2

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 2 θ d θ = 4 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ 2 θ d θ

Passo 2

Á r e a = 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ 2 θ d θ =

Temos que usar aqui a relação: cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ , porém nosso θ =   2 θ → cos 2 ⁡ 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ

2 ∫ 0 π 2 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ d θ = ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

Fazemos a substituição: u = 4 θ → d u = 4 d θ

1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ u d u = 1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ u d u

θ 4 + ( sin ⁡ u ) 4 2 π 0 = 2 π 4 + ( sin ⁡ 2 π ) 4 = π 2

Resposta

Á r e a = π 2

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