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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 4e

Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares

e )   ρ = cos ⁡ θ   e   ρ = sin ⁡ θ  

Passo 1

Primeiro devemos achar os pontos de intersecção das funções:

sin ⁡ θ = cos ⁡ θ → tan ⁡ θ = 1

Nesse caso vemos que dentro do intervalo 0 ,   2 π teremos só um valor ideal para esse θ que vai ser π 4   , mas pela imagem o sin ⁡ 0 = cos ⁡ π 2 , a imagem ficou assim:

Na imagem vemos que a intersecção acontece em θ = π 4 , mas também ocorre para c o s θ quando θ = π 2 e sin ⁡ θ   quando θ = 0 , então vamos considerar o intervalo para a área do cos ⁡ θ no inervalo π 4 , π 2 e para sin ⁡ θ no intervalo 0 , π 4 .

Passo 2

Daí calculamos cada área:

Á r e a   1 = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ θ d θ

E

Á r e a   2 = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ π 4 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos calcular cada área e depois somamos:

Á r e a   1 = 1 2 ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ u d u

= 1 8 u - sin ⁡ θ π 2 0 = 1 8 π 2 - 1 = π 16 - 1 8

Á r e a   2 = 1 2 ∫ π 4 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ π 4 π 2 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 1 8 ∫ π 2 π 1 + cos ⁡ u d u

= 1 8 u + sin ⁡ θ π π 2 = 1 8 π - π 2 + 1 = 1 8 2 π - π 2 - 1 = π 16 - 1 8  

Passo 3

Agora somamos:

π 16 - 1 8 + π 16 - 1 8 = π 8 - 1 4

Resposta

Á r e a = 1 2 ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ π 4 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = π 8 - 1 4

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