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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 26

Encontre a área sob a curva y = (1)/((3 x + 1)^2) acima do intervalo [0 , 1] .

Passo 1

Antes de escrevermos a integral que temos que resolver, vamos esboçar essa região, se liga:

Ou seja, queremos encontrar quanto vale a área da região abaixo dessa curva verde, que vai de 0 até 1 . Sendo assim, a integral que temos que resolver é:

int_0^1 (1)/((3 x + 1)^2) d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 3 x + 1

Disso tiramos que:

d u = 3 d x

:. (d u)/(3) = d x

Substituindo na nossa integral:

int_0^1 (1)/((3 x + 1)^2) d x = (1)/(3) int_0^1 (1)/(u^2) d u

Resolvendo:

(1)/(3) int_0^1 (1)/(u^2) d u = - (1)/(3) ((1)/(u)) (1)/(0) = - (1)/(3) ((1)/(3 x + 1)) (1)/(0)

- (1)/(3) ((1)/(3 x + 1)) (1)/(0) = - (1)/(3) ((1)/(4) - 1)

:. int_0^1 (1)/((3 x + 1)^2) d x = (1)/(4) u . a

E esse é o valor da nossa área, galera!

Resposta

Área: (1)/(4) u . a

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