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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 23

Uma partícula move-se em um eixo s com uma velocidade de v t = s e n   π t   m / s . Encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que estudamos em cinemática, temos que:

A derivada da posição nos dá a velocidade;

A derivada da velocidade nos dá a aceleração.

Bom, se temos a velocidade, então se integrarmos essa função velocidade no intervalo que nos foi dado encontraremos a distância percorrida pela partícula. Tendo isso em vista:

D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a :   ∫ 0 1 s e n   π t d t

Essa é a integral que temos que resolver!

Passo 2

Vamos utilizar a substituição:

u = π t

Disso tiramos que:

d u = π d t

∴ d u π = d t

Substituindo na nossa integral:

1 π ∫ 0 1 s e n   u d u = - 1 π cos ⁡ u 1 0

1 π ∫ 0 1 s e n   u d u = - 1 π cos ⁡ π t 1 0 = - 1 π ( cos ⁡ π - cos ⁡ 0 )

∴ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a :   ∫ 0 1 s e n   π t d t = 2 π   m

E está aí nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a = 2 π   m

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