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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 21

Encontre a área sob o gráfico de f x = 4 x - x 2 , acima do intervalo [ 0 ,   4 ] usando a Definição 5.4 . 3 , tomando x k * como sendo a extremidade direita de cada subintervalo.

Passo 1

O primeiro passo antes de resolver esse problema, é compreendendo o que é a definição 5.4 . 3 :

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x

Onde ∆ x é dado como o comprimento de cada subintervalo que pode ser dado por:

∆ x = b - a n

Se o intervalo a ,   b = [ 0 ,   4 ] , então :

∆ x = 4 - 0 n = 4 n

Se f x = 4 x - x 2 , Vamos considerar x k * = 4 k n (que será o ponto final e extremo à direita):

Então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 ( x k * ) - ( x k * ) 2 . 4 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 4 k n - 4 k n 2 . 4 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 16 k n - 16 k n 2 2   . 4 n  

Utilizando as fórmas fechadas do teorema 5.4.4 para ajudar a desenvolver cálculos que usam o teorema 5.4.3 :

a lim n → ± ∞ ⁡ 1 n ∑ k = 1 n 1 = 1                       ( b ) lim n → ± ∞ ⁡ 1 n 2 ∑ k = 1 n k = 1 2

c lim n → ± ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 = 1 3                       ( d ) lim n → ± ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ k = 1 n k 3 = 1 4

Substituindo os temos que possuímos : 1 n = 1 ; k = 1 2   e   k 2 = 1 3 , podemos isolar o termo 4   em comum:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4.16 k 1 n - k n 2 2   . 1 n    

Substituindo, temos:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4.16 1 2 . 1 - 1 3 . 1 n 2      

Retirando as frações de dentro da equação:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4.16 2.3 1 - 1 n 2      

Reescrevendo, temos que:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * ∆ x = 32 3 ( 1 - 1 n 2 )

Qualquer número dividido por infinito é aproximadamente zero:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * ∆ x = 32 3 1 - 0 = 32 3

Resposta

A = 32 3

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