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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 44

Encontre a área da superfície.

Parte da superfície z = 4 - 2 x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 ,   ( 1,0 ) e ( 1,1 ) .

Passo 1

Pessoal, se uma superfície S tem uma equação da forma z = f ( x , y ) , onde ( x , y ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Nesse problema, a região D é o triângulo mostrado abaixo:

Então para resolver essa questão iremos ter que achar as derivadas parciais ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y e substituir na nossa integral do jeito que vimos na fórmula lá em cima .

Outra coisa que precisamos saber é quem é d A , porém como estamos usando coordenadas retangulares podemos dizer que :

d A = d x d y

Passo 2

Dado que z = 4 - 2 x 2 + y , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais galera. Assim,

∂ z ∂ x = - 4 x

∂ z ∂ y = 1

O valor de y varia de 0 até a reta que liga os pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) . A equação dessa reta é dada por:

y = a x + b

Substituindo os pontos,

0 = 0 + b → b = 0

1 = a + o → a = 1

Assim, a equação é igual a:

y = x

Portanto,

A S = ∬ 1 + - 4 x 2 + 1 2 d A

A S = ∬ 2 + 16 x 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 + 16 x 2 d y d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral :

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 + 16 x 2 d y d x

Começando sempre pela integral que corresponde ao primeiro diferencial:

∫ 0 x 2 + 16 x 2 d y

Como 2 + 16 x 2 é constante em relação a y , podemos colocar para fora da integral.

2 + 16 x 2 ∫ 0 x d y

Logo:

2 + 16 x 2 y 0 x

2 + 16 x 2 x - 0

∫ 0 x 2 + 16 x 2 d y = x 2 + 16 x 2

Substituindo na nossa integral:

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 + 16 x 2 d y d x = ∫ 0 1 x 2 + 16 x 2 d x

Passo 4

Agora vamos resolver a segunda:

∫ 0 1 x 2 + 16 x 2 d x

Para resolver essa questão integral, vamos usar o método da substituição!Seja:

u = 2 + 16 x 2

    d u = 32 x d x

d u 32 = x d x

Os limites de integração vão mudar também. Eles vão mudar de 0 e 1 para:

2 + 16 ⋅ 0 2 = 2

e

2 + 16 ⋅ 1 2 = 18

Assim,

A S = 1 32 ∫ 2 18 u 1 2 d u

A S = 1 32 2 3 u 3 2 2 18

A S = 1 32 2 3 18 18 - 2 2

A S = 13 2 12

Resposta

A área da superfície é:

A S = 13 2 12

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