Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 44
Encontre a área da superfície.
Parte da superfície que está acima do triângulo com vértices e .
Passo 1
Pessoal, se uma superfície tem uma equação da forma , onde e se tem derivadas parciais contínuas, temos que:
Nesse problema, a região é o triângulo mostrado abaixo:
Então para resolver essa questão iremos ter que achar as derivadas parciais e e substituir na nossa integral do jeito que vimos na fórmula lá em cima .
Outra coisa que precisamos saber é quem é , porém como estamos usando coordenadas retangulares podemos dizer que :
Passo 2
Dado que , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais galera. Assim,
O valor de varia de até a reta que liga os pontos e . A equação dessa reta é dada por:
Substituindo os pontos,
Assim, a equação é igual a:
Portanto,
Passo 3
Agora vamos resolver a integral :
Começando sempre pela integral que corresponde ao primeiro diferencial:
Como é constante em relação a , podemos colocar para fora da integral.
Logo:
Substituindo na nossa integral:
Passo 4
Agora vamos resolver a segunda:
Para resolver essa questão integral, vamos usar o método da substituição!Seja:
Os limites de integração vão mudar também. Eles vão mudar de e para:
e
Assim,
Resposta
A área da superfície é: