Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada

Cone gerado pela semi-reta z = 2y , y >= 0 quando esta gira em torno do eixo positivo dos z

Passo 1

A equação do cone que gira em tore de z é

r u , v = ( v sen ⁡ α cos ⁡ u ,   v sen ⁡ α s en ⁡ u ,   v cos ⁡ α )

Com os limites máximos: 0 ≤ u ≤ 2 π e v ≥ 0

Passo 2

O ângulo que gira em torno de z é u . Como o gira é completo, então o limite de u é:

0 ≤ u ≤ 2 π

Passo 3

O α é o ângulo entre o eixo Z e a reta z = 2 y . Podemos utilizar relações geométricas para determinar o ângulo alpha.

Passo 4

Podemos aplicar o valor do raio e de α na equação do cone.

r u , v = ( v sen ⁡ α cos ⁡ u ,   v sen ⁡ α sen ⁡ u ,   v cos ⁡ α )

r u , v = 1 5 v cos ⁡ u ,   1 5 v sen ⁡ u , 2 5   v

As componentes são:

x = 1 5 v cos ⁡ u

y = 1 5 v sen ⁡ u

z = 2 5   v

Resposta

x = 1 5 v cos ⁡ u

y = 1 5 v sen ⁡ u

z = 2 5   v

0 ≤ u ≤ 2 π

v ≥ 0

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