Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 46
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
46.
Passo 1
Oieee, vamos resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar aqui o plano tangente e a reta normal a superfície:
No ponto:
A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:
Onde:
Veja então que precisaremos calcular as derivadas parciais aqui. A equação da reta normal a superfície em um ponto genérico será dada por:
Vamos partir para os cálculos então!
Passo 2
a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:
Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:
As derivadas no ponto em questão serão:
Derivando em relação a e considerando todas as outras variáveis como constantes:
Aplicando o ponto que é o nosso ponto genérico:
Derivando em relação a e considerando todas as outras variáveis como constantes:
Aplicando o ponto que é o nosso ponto genérico:
Derivando em relação a e considerando todas as outras variáveis como constantes:
Aplicando o ponto que é o nosso ponto genérico:
Teremos então o gradiente:
Passo 3
Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:
Colocando o ponto genérico:
Realizando o produto:
Organizando a gente fica com:
Que é a equação do plano tangente!
Passo 4
b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:
Como a gente já fez os calculso das derivadas parciais, agora é só substituir:
Simplificando tudo:
Resposta
a)
b)