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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 47

Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.

Delimitada pelo limaçon r = 2 - cos ⁡ θ .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas em coordenadas polares.

Para determinarmos a área faremos:

A = 2 ∫ 0 π 1 2 r 2 d θ

Da equação fornecida temos:

r 2 = 2 - cos ⁡ θ 2 = 4 - 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Substituindo na equação da área, teremos:

A = 2 ∙ 1 2 ∫ 0 π 4 - 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 - 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

= 4 ∫ 0 π d θ - 4 ∫ 0 π cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ = 4 π - 0 - 4 s e n   π - s e n   0 + ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Resolvendo essa última integral separadamente, podemos reescrever como:

∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 0 π 1 2 d θ + ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

= 1 2 π - 0 + s e n   2 θ 4   | 0 π

Daí temos que:

A = 4 π - 4 0 - 0 + 1 2 π + s e n   2 ∙ π - s e n   2 ∙ 0 4 =

= 4 π + π 2 + 0 - 0 4 = 4 π + π 2 = 9 π 2

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

9 π 2

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