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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 51

Encontre os comprimentos das curvas dadas pelas equações de coordenadas polares nos Exercícios 51-54.

r = - 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos em coordenadas polares.

Para determinarmos o comprimento pedido, usaremos a formulação:

L = ∫ θ 1 θ 2 r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos derivar r em relação a θ:

d r d θ = d d θ - 1 + cos ⁡ θ = - s e n   θ

Teremos então que:

L = ∫ 0 2 π - 1 + cos ⁡ θ 2 + - s e n   θ 2 d θ = ∫ 0 2 π 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ d θ =

= ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π 4 1 - cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ 0 2 π 2 s e n θ 2 d θ

Passo 2

Integrando obtemos:

L = - 4 cos ⁡ θ 2 | 0 2 π = - 4 cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = - 4 - 1 - 1 = + 8

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

8

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as coordenadas polares, 0 ≤ θ ≤ 2 π e r ≥ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas. 3 ,- 1
Encontre as coordenadas polares, 0 ≤ θ ≤ 2 π e r ≥ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas. 1 ,1
Encontre as coordenadas polares, 0 ≤ θ2 π e r ≤ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas. 4 ,- 3
Represente graficamente os pontos (dados em coordenadas polares). Em seguida, encontre todas as coordenadas polares de cada um dos pontos. 3 ,π / 4 - 3 ,π / 4 3 ,- π / 4 - 3 ,- π / 4
Desenhe os gráficos dos conjuntos de pontos cujas coordenadas polares satisfaçam as equações e desigualdades nos Exercícios 11-26. r ≥ 1