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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 48

Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.

Delimitada por uma pétala da rosa de três pétalas r = s e n   3 θ .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas em coordenadas polares.

Para determinarmos a área faremos:

A = ∫ 0 π / 3 1 2 r 2 d θ

Da equação fornecida temos:

r 2 = s e n   3 θ 2 = s e n 2   3 θ

Substituindo na equação da área, teremos:

A = ∫ 0 π / 3 1 2 s e n 2   3 θ d θ = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 6 θ 2 d θ = 1 4 θ - 1 6 s e n   6 θ | 0 π / 3

Passo 2

Daí temos que:

A = 1 4 π 3 - 0 - 1 6 s e n 6 π 3 - s e n   0 = 1 4 π 3 - 1 6 s e n 2 π - s e n   0 =

= 1 4 π 3 - 1 6 0 - 0 = 1 4 π 3 = π 12

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

π 1 2

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