Esboce as retas nos Exercícios 45-48 e encontre equações cartesianas para elas.

r cos(θ + 3π/4) = 1

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da reta cartesiana encontrada.

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, apresenta uma soma entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y - sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ + 3 π 4 = 1   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ 3 π 4 - sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ 3 π 4 = 1  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ 3 π 4 - r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ 3 π 4 = 1

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ - 2 2 - y ∙ 2 2 = 1

Multiplicando ambos os lados por - 2 , têm-se:

x + y = - 2

Encontramos nossa equação da reta, em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x + y = - 2 .

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