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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 32

Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.

x = 2 3 t 3 / 2 ; y = 2 t ; 0 ≤ t ≤ 3 ; e i x o   y

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre áreas de superfícies.

A partir do enunciado derivamos implicitamente x e y:

d x d t = t 1 / 2   e   d y d t = t - 1 / 2

Daí, temos:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 = t 1 / 2 2 + t - 1 / 2 2 = t + t - 1 = t 2 + 1 t

A área pedida é dada por:

A = ∫ 0 3 2 π ∙ 2 3 t 3 / 2 ∙ t 2 + 1 t d t = 4 π 3 ∫ 0 3 t t 2 + 1 d t

Passo 2

Fazendo a substituição:

u = t 2 + 1 = > d u = 2 t d t

Os limites de integração ficam:

t = 0 = > u = 1   e   t = 3 = > u = 4

A área fica:

A = 4 π 3 ∫ 1 4 u d u 2 = 2 π 3 ∫ 1 4 u d u = 4 π 9 u 2 / 3 | 1 4 = 4 π 9 4 2 / 3 - 1 2 / 3

= > A = 28 π 9

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

A = 28 π 9

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