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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 17

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = ƒ(t), y = g(t), encontre o coeficiente angular da curva x = ƒ(t), y = g(t) no valor determinado de t.

x + 2 x 3 / 2 = t 2 + t ; y t + 1 + 2 t y = 4 ; t = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre curvas paramétricas.

A partir do enunciado derivamos implicitamente x e y:

d x d t + 3 x 1 / 2 d x d t = 2 t + 1   e d y d t t + 1 + y 2 t + 1 - 1 / 2 + 2 y + 2 t 1 2 y d y d t = 0

Daí, obtemos:

1 + 3 x 1 / 2 d x d t = 2 t + 1 = > d x d t = 2 t + 1 1 + 3 x 1 / 2

E:

t + 1 + t y d y d t = - y 2 t + 1 - 2 y = > d y d t = - y 2 t + 1 t + 1 + t y = - y y - 4 y t + 1 2 y t + 1 + 2 t t + 1

Passo 2

Daí, temos que:

d y d x = d y d t d x d t = - y y - 4 y t + 1 2 y t + 1 + 2 t t + 1 2 t + 1 1 + 3 x 1 / 2

No valor de t pedido, temos que:

t = 0 = > x + 2 x 3 / 2 = 0   e   y = 4

Resolvendo para x:

x 1 + 2 x = 0 = > x = 0

Substituindo esses valores em dy/dx teremos:

d y d x ( t = 0 ) = - 4 4 - 4 ∙ 4 0 + 1 2 4 0 + 1 + 2 ∙ 0 0 + 1 2 ∙ 0 + 1 1 + 3 ∙ 0 1 / 2 = - 8 - 16 4 + 0 0 + 1 1 + 0 = - 24 4 1 1 = - 6

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

d y d x t = 0 = - 6

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