Enunciado

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = 2x -1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x [5 ,1 ]

F(x) = 2x -1

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 2 x i - 1 ) ∆ x i =   ∫ 1 5 2 x - 1 d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ 1 5 2 x - 1 d x =   ( x 2 - x ) 1 5  

= (25-5) – (1-1)

= 20

Resposta

∫ 1 5 2 x - 1 d x = 20

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