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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 21

21) Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2 x 2 + 3 que é paralela à reta 8 x - y + 3 = 0 .

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 2 x 2 + 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = 2 x 1 + ∆ x 2 + 3 e

f x 1 = 2 x 1 2 + 3

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x 2 + 3 - 2 x 1 2 + 3 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = 4 x 1

Passo 2

Agora é preciso lembrar que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Então descobrimos o coeficiente angular da reta fornecida no enunciado colocando-a no formato de equação reduzida.

8 x - y + 3 = 0

8 x + 3 = y

O seu coeficiente angular é   m = 8 .

Passo 3

Agora igualamos os coeficientes angulares e descobrimos o ponto de tangência:

4 x 1 = 8

x 1 = 2

Substituindo na função descobrimos o valor de y.

y = 2 x 2 + 3

y = 2 . 2 2 + 3

y = 11

Portanto:

( 2,11 )

Passo 4

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 11 = 8 . x - 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

- 8 x + y + 5 = 0

8 x - y - 5 = 0

Resposta

Equação da reta tangente:

8 x - y - 5 = 0

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