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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 9

Encontre o centroide da região.

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

Passo 2

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

Para achar os limitantes da região no eixo x , precisamos fazer a intercessão entre curvas:

y = 2 - x^2 , y = x :. 2 - x^2 = x

Resolvendo a equação:

x = - 2 , x = 1

Mas, inferiormente, nosso x está visivelmente limitado em 0 , por isso no eixo x nossa região está entre 0 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f (x) = 2 - x^2 (por cima) e y = g (x) = x (por baixo).

A área pode ser calculada pela integral:

á r e a d e R = int_0^1 2 - x^2 - x d x = (7)/(6)

Nossa integral fica:

overset(-)(x) = (6)/(7) int_0^1 x (2 - x^2 - x) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral dos polinômios:

overset(-)(x) = (5)/(14)

Passo 3

Agora a coordenada overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

overset(-)(y) = (6)/(7) int_0^1 (1)/(2) ((2 - x^2)^2 - x^2) d x = (38)/(35)

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((5)/(14) , (38)/(35))

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