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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 7

Encontre o centroide da região.

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

Passo 2

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b x ( f (x) - g (x) ) d x

No eixo x nossa região está entre 0 e 1 , e no eixo y , nossa região está entre y = f (x) = x (por cima) e y = g (x) = 0 (por baixo).

A área pode ser calculada pela integral:

á r e a d e R = int_0^1 x - 0 d x = (1)/(2)

Nossa integral fica:

overset(-)(x) = 2 int_0^1 x (x - 0) d x = 2 int_0^1 x^2 d x = (2)/(3)

Passo 3

Agora a coordenada overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (1)/(á r e a d e R) int_a^b (1)/(2) [(f (x))^2 - (g (x))^2] d x

overset(-)(y) = 2 int_0^1 (1)/(2) ((x)^2 - (0)^2) d x = (1)/(3)

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((2)/(3) , (1)/(3))

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