Use o Teorema de Pappus e o fato de que a área de uma elipse com semieixos e é para calcular o volume do toro elíptico gerado pela revolução da elipse

em torno do eixo . Suponha que .

Temos uma elipse que vai ser girada em torno do eixo . Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso o eixo .

Olha a equação da elipse:

A gente sabe que, por causa da simetria, o centroide coincide com o centro, que nesse caso está em . Então, a distância do centro até o eixo de rotação, o eixo , é . Por isso o raio da trajetória vai ser .

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência de raio :

Precisamos da área da região. A área de é a área de uma elipse de semieixos e , então:

Com tudo calculado, podemos usar:

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

Arrasamos!