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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 16

Encontre a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F = (–sen y)i + (x cos y)j ao redor e sobre o

quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = p/2 e

y = p/2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i → + N j → através de C como sendo a integral dupla do div F → sobre a região R delimitada por C , ∮   C F → ⋅ n → d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = ( - s e n ⁡ y ) i → + ( x c o s ⁡ y ) j → atuando sobre a região limitada ao primeiro quadrante por C : x = π 2 , y = π 2 .Encontremos M e N : M = - s e n ⁡ y e N = x c o s ⁡ y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 0 , ∂ M ∂ y = - c o s ⁡ y e ∂ N ∂ x = c o s ⁡ y , ∂ N ∂ y = - x seny

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = c o s ⁡ y e ∂ M ∂ y = - c o s ⁡ y em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     [ c o s ⁡ y - ( c o s ⁡ y ) ] d x x y = ∫ 0 π / 2     ∫ 0 π / 2     2 c o y ⁡ d x d y   = ∫ 0 π / 2     π c o s ⁡ y d y = [ π s e n ⁡ y ] 0 π / 2 = π

Passo 4

Para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = 0 e ∂ N ∂ y = - x seny e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ - x s e n ⁡ y ] d x d y

= ∫ 0 π / 2   - π 2 8  seny  d y = - π 2 8

Resposta

Assim, a circulação de F → através de C é π e o fluxo exterior de F → através de C é - π 2 8 .

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