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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.4 - Ex. 19

Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.

Rosa de quatro pétalas r = sen ⁡ 2 θ ;     θ = ± π / 4 ,   ± 3 π / 4

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Primeiro precisamos relembrar que o coeficiente angular de uma curva polar r = f θ no plano x y é dado ainda por d y / d x , que não é r ' = d f / d θ . Para saber por que, pense no gráfico de f como o das equações paramétricas:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,         y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Se f é uma função derivável de θ , então x e y também o são e, quando d x / d θ ≠ 0 , podemos calcular d y / d x a partir da fórmula paramétrica:

d y d x = d y / d θ d x / d θ

Além disso, já vimos que a transformação de coordenadas cartesianas em polares é:

Então com a equação r = sen ⁡ 2 θ , podemos escrever da seguinte forma:

x = sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

y = sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

Jogando na equação do coeficiente angular, teremos o seguinte:

d y d x = d d θ sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ d d θ sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ θ sen ⁡ 2 θ

Passo 2

  • Para θ = - π / 4 , temos:

    • d y d x θ = - π / 4 = 2 sen ⁡ - π 4 cos ⁡ 2 - π 4 + sen ⁡ 2 - π 4 cos ⁡ - π 4 2 cos ⁡ - π 4 cos ⁡ 2 - π 4 - sen ⁡ - π 4 sen ⁡ 2 - π 4 = 1

    Então o coeficiente angular em ( - 1 ,   - π / 4 ) é 1 .

  • Para θ = π / 4

    • d y d x θ = π / 4 = 2 sen ⁡ π 4 cos ⁡ 2 π 4 + sen ⁡ 2 π 4 cos ⁡ π 4 2 cos ⁡ π 4 cos ⁡ 2 π 4 - sen ⁡ π 4 sen ⁡ 2 π 4 = - 1

    E o coeficiente angular em ( 1 ,   π / 4 ) é - 1 .

    Passo 3

  • Para θ = - 3 π / 4 , temos:

    • d y d x θ = - 3 π / 4 = 2 sen ⁡ - 3 π 4 cos ⁡ 2 - 3 π 4 + sen ⁡ 2 - 3 π 4 cos ⁡ - 3 π 4 2 cos ⁡ - 3 π 4 cos ⁡ 2 - 3 π 4 - sen ⁡ - 3 π 4 sen ⁡ 2 - 3 π 4 = - 1

    Então o coeficiente angular em ( 1 ,   - 3 π / 4 ) é - 1 .

  • E para θ = 3 π / 4 :

d y d x θ = 3 π / 4 = 2 sen ⁡ 3 π 4 cos ⁡ 2 3 π 4 + sen ⁡ 2 3 π 4 cos ⁡ 3 π 4 2 cos ⁡ 3 π 4 cos ⁡ 2 3 π 4 - sen ⁡ 3 π 4 sen ⁡ 2 3 π 4 = 1

E o coeficiente angular em ( - 1 ,   3 π / 4 ) é 1 .

Passo 3

Utilizando o programa computacional WolframAlpha a equação r = sen ⁡ 2 θ , e definindo as tangentes nesse gráfico, temos:

Espero ter conseguido ajudar. Até mais!

Resposta

O coeficiente angular em ( - 1 ,   - π / 4 ) é 1 , em ( 1 ,   π / 4 ) é - 1 , em ( 1 ,   - 3 π / 4 ) é - 1 e em ( - 1 ,   3 π / 4 ) é 1 .

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