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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 35

Nos Exercícios de 33 a 36, ache a medida, em graus, do ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas em todos os pontos de intersecção.

35. r = cos ⁡ θ r = s e n   2 θ

Passo 1

Então galera, para descobrirmos o ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas em TODOS os pontos de intersecção precisamos seguir alguns passos, assim como revisado pela literatura do Leithold na seção 10.9. De início o que precisamos fazer é descobrir os pontos de intersecção entre as curvas dadas; em seguida devemos determinar χ para cada uma das curvas. Mas po, o que seria esse termo aí? Esse termo é exatamente o ângulo entre a curva e a reta tangente no ponto! Esse termo pode ser descoberto utilizando-se da seguinte relação:

t g   χ = r d r d θ

Depois disso, basta fazermos:

β = χ 1 -   χ 2

Esse   β é exatamente o ângulo que estamos procurando! Agora que já sabemos o que temos que determinar, mãos a obra galera!

Passo 2

Igualando as funções para descobrirmos os pontos de intersecção, teremos:

cos ⁡ θ = s e n   2 θ

cos ⁡ θ = 2 s e n   θ . cos ⁡ θ ⇒ s e n   θ = 1 2

∴ θ = π 6   e   θ = 5 π 6

Antes de substituirmos esses pontos nas curvas, vamos ver os pontos em que r = 0 , galera:

r = cos ⁡ π 2   = 0

r = cos ⁡ 3 π 2 = 0

r = s e n   2 . π 2 = 0

r = s e n 2 . 3 π 2 = 0

Aqui notamos algo interessante! A origem também é um ponto de intersecção entre as curvas! Outros pontos, nesse caso, são 0 , π 2 e 0 , 3 π 2 . Agora sim, substituindo os pontos que descobrimos lá em cima, teremos:

r = cos ⁡ π 6 = 3 2

r = cos ⁡ 5 π 6 = - 3 2

r = s e n   2 . π 6 = 3 2

r = s e n   2 . 5 π 6 = - 3 2

Passo 3

Descobrindo χ para a primeira função r = cos ⁡ θ , teremos:

d r d θ = - s e n   θ

∴ t g   χ 1 = cos ⁡ θ - s e n   θ = - c o t g   θ

d r d θ = 2 cos ⁡ 2 θ

∴ t g   χ 2 = s e n   2 θ 2 cos ⁡ 2 θ = 1 2 t g   2 θ

Passo 4

Por fim, substituindo os pontos de intersecção em cada função descoberta de t g   χ , teremos:

Para os pontos 0 , π 2 e 0 , 3 π 2 , temos:

t g   χ 1 = - c o t g   θ = 0

∴ χ 1 = 0

t g   χ 2 = 1 2 t g   2 θ = 0

∴ χ 2 = 0

β = 0 °

Para o ponto 3 2 , π 6 , temos:

t g   χ 1 = - c o t g   π 6 = - 3

∴ χ 1 = 120 °

t g   χ 2 = 1 2 t g   2 . π 6 = 3 2

∴ χ 2 ≈ 40,9 °

β = 120 ° - 40,9 ° = 79,11 °

Para o ponto - 3 2 ,   5 π 6 , temos:

t g   χ 1 = - c o t g   5 π 6 = 3

∴ χ 1 = 6 0 °

t g   χ 2 = 1 2 t g   2 . 5 π 6 = - 3 2

∴ χ 2 ≈ 139 , 11 °

β = 139,11 ° - 60 ° = 79,11 °

Resposta

β = 79,11 °

β = 0 °

β = 90 °

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