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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 54

Encontre o comprimento de arco da catenária y = a cosh ⁡ x a entre x = 0 e x = x 1 ( x 1 > 0 ).

Passo 1

Essa é bem simples! Para acharmos o comprimento de um arco, podemos utilizar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Temos que f ' x = sinh ⁡ x a . Pela propriedade, 1 + sinh 2 ⁡ x a = cosh 2 ⁡ x a , assim:

L = ∫ 0 x 1 cosh 2 ⁡ x a d x = ∫ 0 x 1 cosh ⁡ x a d x

Portanto,

L = a sinh ⁡ x a 0 x 1 = sinh ⁡ x 1 a

Prontinho!!

Resposta

sinh ⁡ x 1 a

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Encontre o comprimento de arco da catenária y = cosh ⁡ x entre x = 0 e x = ln ⁡ 2 .