Prove as identidades:

(a) cosh(x) + sinh(x) = e^x

(b) cosh(x) - sinh(x) = e^(-x)

(c) sinh(x + y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)

(d) sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)

(e) cosh(x + y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)

(f cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)

(g) cosh(2x) = 2 * sinh^2(x) + 1

(h) cosh(2x) = 2 * cosh^2(x) - 1

Passo 1

Bom, para começar fazendo as demonstrações de cada identidade devemos lembrar das suas definições!

Para o item (a), aplicando a definição de sinh ⁡ x e cosh ⁡ x , temos:

cosh ⁡ x + sinh ⁡ x = 1 2 e x + e - x + 1 2 e x - e - x = e x

Para o item (b),

cosh ⁡ x - sinh ⁡ x = 1 2 e x + e - x - 1 2 e x - e - x = e - x

Para o item (c),

sinh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x sinh ⁡ y = 1 4 e x - e - x e y + e - y + 1 4 e x + e - x ( e y - e - y )

= 1 4 [ e x + y - e - x + y + e x - y - e - x - y + e x + y + e - x + y - e x - y - e - x - y ]

= 1 4 e x + y - e - x + y

= sinh ⁡ x + y

Para o item (d), fazemos com o resultado anterior, apenas substituindo y = x , logo

sinh ⁡ 2 x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x + cosh ⁡ x sinh ⁡ x

sinh ⁡ 2 x = 2 sinh ⁡ x cosh ⁡ x

Para o item (e), temos que é semelhante a parte (c):

cosh ⁡ x cosh ⁡ y + sinh ⁡ x sinh ⁡ y = 1 4 e x + e - x e y + e - y + 1 4 e x - e - x ( e y - e - y )

= 1 4 e x + y + e - x + y + e x - y + e - x - y + e x + y - e - x + y - e x - y + e - x - y

= 1 4 2 e x + y + 2 e - x + y

= cosh ⁡ x + y

Para o item (f), é semelhante ao item (e), apenas substituindo y = x :

cosh ⁡ 2 x = cosh ⁡ x cosh ⁡ x + sinh ⁡ x sinh ⁡ x

cosh ⁡ 2 x = cosh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x

Para o item (g), usamos a identidade cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 no resultado do item (f):

cosh ⁡ 2 x = 1 + sinh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x

cosh ⁡ 2 x = 1 + 2 sinh 2 ⁡ x

Para o item (h), usamos a identidade cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 no resultado do item (f):

cosh ⁡ 2 x = cosh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x - 1

cosh ⁡ 2 x = 2 cosh 2 ⁡ x - 1

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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