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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 7

Obtenha as derivadas de arc cosh x e arc tgh x diferenciando as fórmulas do Teorema 6.9.4.

Passo 1

Bom, basicamente o que vamos fazer aqui é derivar as funções atanh ⁡ x e arccosh ⁡ x do teorema 6.9.4. Vamos lá!

arccosh ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 - 1

Usaremos a regra da cadeia para derivar. Chamando g = x + x 2 - 1 , temos

d d g ln ⁡ g × d d x x + x 2 - 1

1 g × 1 + 1 2 x 2 - 1 × 2 x

Substituindo o valor de g e simplificando a expressão:

1 x + x 2 - 1 × 1 + 1 2 x 2 - 1 × 2 x

1 x 2 - 1

Passo 2

Agora, para arctanh ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x , usaremos a regra da cadeia para derivar. Chamando g = 1 + x 1 - x , temos

1 2 × d d g ln ⁡ g × d d x 1 + x 1 - x

1 2 × 1 g × 1 - x - 1 + x × ( - 1 ) 1 - x 2

Substituindo o valor de g e simplificando a expressão:

1 2 × 1 1 + x 1 - x × 1 - x - 1 + x × ( - 1 ) 1 - x 2

1 1 - x 2

Prontinho!!

Resposta

1 1 - x 2

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