Encontre o comprimento de arco da catenária y = cosh ⁡ x entre x = 0 e x = ln ⁡ 2 .

Passo 1

Essa é bem simples! Para acharmos o comprimento de um arco, podemos utilizar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Temos que f ' x = sinh ⁡ x . Pela propriedade, 1 + sinh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x , assim:

L = ∫ a b cosh 2 ⁡ x d x = ∫ 0 ln ⁡ 2 cosh ⁡ x d x

Portanto,

L = sinh ⁡ x 0 ln ⁡ 2 = sinh ⁡ ( ln ⁡ 2 ) = 1 2 e ln ⁡ 2 - e - ln ⁡ 2

L = 1 2 2 - 1 2 = 3 4

Prontinho!!

Resposta

3 4

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