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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 12

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

12.

int (sqrt(y^2 - 25))/(y^3) d y , y > 5

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

y = 5 sec u d y = 5 * sec u * t g u d u

Então nossa integral fica

int (sqrt(y^2 - 25))/(y^3) d y = int (sqrt(y^2 - 25))/(125 sec^3 u) 5 * sec u * t g u d u = (1)/(25) int sqrt(y^2 - 25) * (t g u)/(s e c^2 u) d u = (1)/(25) int sqrt(y^2 - 25) * t g u * c o s^2 u d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c^2 u - 1 = t g^2 u

Então

(y^2)/(25) - 1 = t g^2 u

sqrt((y^2)/(25) - 1) = t g u

sqrt(y^2 - 25) = 5 t g u

Teremos então

(1)/(25) int sqrt(y^2 - 25) * t g u * c o s^2 u d u = (1)/(25) int 5 * t g u * t g u * c o s^2 u d u = (1)/(5) int t g^2 u * c o s^2 u d u

Passo 4

Sabemos que t g x = (s e n x)/(cos x)

Então nossa integral fica

(1)/(5) int t g^2 u * c o s^2 u d u = (1)/(5) int ((s e n u)/(cos u))^2 * c o s^2 u d u = (1)/(5) int s e n^2 u d u

Passo 5

Para resolver essa integral vamos usar

s e n^2 u = (1 - cos 2 u)/(2)

Então

(1)/(5) int s e n^2 u d u = (1)/(5) int (1)/(2) ( 1 - cos 2 u ) d u = (1)/(10) [int d u - int cos 2 u d u]

Vamos calcular as integrais

int d u = u + C

E

int cos 2 u d u

Vamos fazer

v = 2 u d v = 2 d u

Então

int cos 2 u d u = (1)/(2) int cos v d v = (1)/(2) s e n v + C = (1)/(2) s e n 2 u + C = cos u * s e n u + C

Então

(1)/(10) int ( 1 - cos 2 u ) d u = (1)/(10) (u + cos u * s e n u + C)

Passo 6

Mas sabemos que y = 5 sec u e por tanto y = (5)/(cos u) , consequentemente cos u = (5)/(y)

Por outro lado s e n u = t g u * cos u e sqrt((y^2)/(25) - 1) = t g u

(1)/(10) (u + cos u * s e n u + C) = (1)/(10) [s e c^(- 1) ((y)/(5)) + ((5)/(y)) * sqrt((y^2)/(25) - 1) * ((5)/(y)) + C]

Isso vai nos dar

(1)/(10) [s e c^(- 1) ((y)/(5)) + sqrt(y^2 - 25) * ((5)/(y^2)) + C]

Resposta

(1)/(10) [s e c^(- 1) ((y)/(5)) + sqrt(y^2 - 25) * ((5)/(y^2)) + C]

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