Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 32
A integral:
Pode ser calculada tanto por substituição trigonométrica quanto por manipulação algébrica, reescrevendo o numerador do integrando como . Calcule a integral de ambas as maneiras e mostre que os resultados obtidos são equivalentes.
Passo 1
Então galera, assim como o enunciado sugere, as duas formas de calcular o valor dessa integral são: utilizando substituição trigonométrica e utilizando substituição simples. Vamos primeiro resolver utilizando a substituição trigonométrica, ok? Let’s go então!
Como o nosso denominador está no formato , a substituição mais interessante é:
Como nosso , então:
Ademais:
E disso tiramos que:
Substituindo na nossa integral, teremos:
Simplificando, teremos:
Passo 2
Ok, simplificamos bastante a nossa integral, pessoal! Para resolvermos essa integral vamos utilizar a relação trigonométrica:
Substituindo:
Resolvendo, teremos:
Voltando à variável :
E esse é o nosso resultado utilizando o primeiro método!
Passo 3
Agora utilizando a substituição simples, temos que:
Que é a manipulação sugerida pelo enunciado! Simplificando, teremos:
A primeira integral é de boas, né? Seu resultado é . A segunda integral é uma integral tabelada e seu resultado é:
Sendo assim, temos que:
Que é exatamente o mesmo resultado que chegamos utilizando a substituição trigonométrica! Sendo assim, fica provado que, de fato, os dois métodos são equivalentes!