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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 23

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

23.

∫ 0 3 2 4 x 2   d x ( 1 - x 2 ) 3 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos usar a substituição onde

x = s e n   u d x = cos ⁡ u   d u

Lembrando também a relação trigonométrica

1 - s e n 2 ѳ = c o s 2 ѳ

Então

( 1 - x 2 ) 3 2 = ( 1 - s e n 2 u ) 3 2 = c o s 3 u

E aí nossa integral fica

∫ 0 3 2 4 x 2   d x ( 1 - x 2 ) 3 2 = ∫ 0 π 3 4   s e n 2 u c o s 3 u cos ⁡ u   d u = 4 ∫ 0 π 3 ( 1 - c o s 2 u ) c o s 2 u d u = 4 ∫ 0 π 3 s e c 2 u - 1 d u

Passo 3

Agora vamos resolver nossa integral.

Primeiro vamos resolver

∫ s e c 2 u   d u

Vamos fazer a substituição onde

v = t g   u d v = s e c 2 u   d u

Então

∫ s e c 2 u   d u = ∫ d v = v + C = t g   u + C

A outra integral é simples

∫ d u = u + C

Então ficamos com

4 ∫ 0 π 3 s e c 2 u - 1 d u = 4 t g   u - u 0 π 3 = 4 3 - π 3

Resposta

4 3 - π 3

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