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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 20

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

20.

∫ 9 - w 2 w 2 d w    

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

w = 3   s e n   u d w = 3 cos ⁡ u d u

Vamos usar também a relação trigonométrica onde

1 - s e n 2 ѳ = c o s 2 ѳ

E aí podemos dizer que

9 - w 2 = 9 - 9 s e n 2 u = 3 cos ⁡ u

E assim nossa integral fica

∫ 9 - w 2 w 2 d w     = ∫ 3 cos ⁡ u 9 s e n 2 u   3 cos ⁡ u d u = ∫ c o t 2 u   d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

∫ c o t 2 u   d u = ∫ c o s 2 u s e n 2 u d u = ∫ ( 1 - s e n 2 u ) s e n 2 u d u = ∫ 1 s e n 2 u d u - ∫ d u

Para resolver a primeira integral vamos usar a substituição

v = cot ⁡ u d v = - 1 s e n 2 u   d u

Então ficaremos com

∫ 1 s e n 2 u d u = - ∫ d v = - v + C

Isso nos dá

- v + C = - cot ⁡ u + C

A segunda integral fica

∫ d u = u + C

Então o resultado dessa integral é

∫ c o t 2 u   d u = - cot ⁡ u - u + C

Passo 4

Mas w = 3   s e n   u         e 9 - w 2 = 3 cos ⁡ u

Então cot ⁡ u = 3 cos ⁡ u 3   s e n   u = 9 - w 2 w      

E u = a r c s e n w 3

Logo

- cot ⁡ u - u + C = - 9 - w 2 w - a r c s e n w 3 + C

Resposta

- 9 - w 2 w - a r c s e n w 3 + C

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