Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 9
Encontre o comprimento da curva para 4 casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral.)
Passo 1
Olá, meu amigo. Irei te ajudar a resolver essa atividade de cálculo.
Dada a curva parametrizada:
Iremos calcular o comprimento dessa curva entre os pontos:
O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:
Então iremos precisar utilizar dessa fórmula para encontrarmos o comprimento. Deveremos então derivar as componentes da nossa curva para conseguirmos resolver essa atividade.
Já em relação ao intervalo de integração, deveremos encontrar para quais valores de nossa componente vai de a . Escolhemos a componente pois é a única componente que muda.
Passo 2
Para a nossa curva, temos:
Os limites de integração e corresponde aos valores de no qual obtemos os pontos e .
Para , obtemos:
Para , obtemos:
Desta forma os limites de integração são:
Passo 3
Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:
Passo 4
Portanto o comprimento da curva é:
Elevando ao quadrado:
Para calcularmos essa integral precisamos de uma calculadora científica, pois a mesma não é resolvida por métodos elementares.