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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 43

Determine as derivadas parciais indicadas.

f x , y , z = ln ⁡ 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 ;     f y 1,2 , 2

Passo 1

Fala ai, belezinha? 😊

A questão pede para determinar a derivada parcial em y da função f ( x , y , z ) no ponto ( 1,2 , 2 ) . Para resolver, primeiro encontramos as expressões das derivadas parciais de f em relação a y apenas, e então as avaliamos no ponto dado ( 1,2 , 2 ) .

Passo 2

Tá pedindo a derivada parcial em y no ponto ( 1,2 , 2 ) , então a gente faz a parcial de y   e depois substitui o ponto ( 1,2 , 2 ) . Nesse nem precisa fazer a derivada parcial em x nem em z .

Vamos lá... Aplicando a regra da cadeira e a regra do logaritmo.

f y = 1 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 ∂ f ∂ y 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2  

Para resolver a derivada utilizamos a regra do quociente.

∂ f ∂ y = f ' x g x - f x g ' x g x ²

=   1 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2   - y x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 - y x 2 + y 2 + z 2 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Passo 3

Agora a gente inverte pra ver se dá pra cortar alguma coisa...

1 1 - x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 - 2 y x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2  

1 + x 2 + y 2 + z 2 1 - x 2 + y 2 + z 2 - 2 y x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2

Cortamos os termos semelhantes

1 1 - x 2 + y 2 + z 2 - 2 y x 2 + y 2 + z 2

=   - 2 y 1 - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Beleza, vamos deixar assim mesmo e substituir o ponto!

Passo 4

f y 1,2 , 2 = - 2 y 1 - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

f y 1,2 , 2 =   - 2 2 1 - 1 2 + 2 2 + 2 2 1 2 + 2 2 + 2 2

f y 1,2 , 2 = - 4 1 - 3 3

f y 1,2 , 2 = - 4 - 6

f y 1,2 , 2 = 2 3

Prontinho!! Até a próxima questão!

Resposta

f y 1,2 , 2 = 2 3

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