Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)

r(t) = (t, ln(t), t, ln(t)), 1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Veja bem, a gente tem a curva parametrizada:

r t = t , ln ⁡ t , t ln ⁡ t

Com:

1 ≤ t ≤ 2

O comprimento de arco é dado pela fórmula geral:

L = ∫ a b | r ' t | d t

O primeiro passo então, é obter a derivada r ' ( t ) . Depois disso deveremos encontrar o modulo da nossa derivada e então resolvermos a integral.

Passo 2

Obtendo então a derivada:

r ' t = ( 1 , 1 t ,   1 + ln ⁡ t )

Agora, obtemos o módulo da função derivada r ' t . Temos

r ' t = 1 2 + 1 t 2 + 1 + ln ⁡ t 2

Realizando os quadrados:

r ' t = 2 + 1 t 2 + 2 ln ⁡ t + ln 2 ⁡ t

Passo 3

Obtido o módulo da derivada, substituímos o valor na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ 1 2 | r ' t | d t

L = ∫ 1 2 2 + 1 t 2 + 2 ln ⁡ t + ln 2 ⁡ t d t

Utilizando uma calculadora avançada ou um software é possível obter a aproximação da integral acima. Obtemos:

L = ∫ 1 2 2 + 1 t 2 + 2 ln ⁡ t + ln 2 ⁡ t d t = 1.8581

Resposta

L = ∫ 1 2 2 + 1 t 2 + 2 ln ⁡ t + ln 2 ⁡ t d t = 1.8581

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados